总体特征数的估计在上节我们学习了通过对样本数据的相关处理，用样本的频率分布表、频率分布直方图和茎叶图来估计总体的分布状态，这主要侧重于从“形”的角度来进行判断，从过程的处理来看还是比较烦琐的.另一方面，既然样本是从总体中抽取的，用样本估计总体是统计的基本思想，那么能不能直接通过对样本的数据的处理，从“数”的角度，用样本的特征数来对总体的分布特征进行估计呢？这就是本节要学习的内容——总体特征数的估计.学法建议本节主要学习两个方面的内容，即平均数及其估计、方差与标准差.通过本节的学习一是要掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法；二是要理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并通过具体的处理过程，掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想.此外还应注意以下两点：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.总之，对本节的学习一是要理解相应的理论背景，二是要动手实际操作.一、知识网络易错点提示：①方差公式中有差、方、和、均四步运算.差是减法，方是平方，和是加法，均则为除法，就是求差、方的平均值，这也是“方差”的由来.②方差的单位是已知数据的平方单位.二、知识归纳1．总体特征数在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数.2．平均数设容量为的样本的数据值为，则称数为这个数据的平均数或均值，一般记为.可以证明平均数与实验数据之间的偏差（离差）最小，是与实验数据最接近、最理想的近似值.用心爱心专心样本的数据平均数估计方差估计标准差估计估计总体证明过程如下：考察函数，将其改写为，所以当时，值最小.正因为如此，我们可以通过计算样本的平均数来衡量这组数据的水平，进而估计总体的水平.但由于样本抽取的随机性，有时用平均水平来衡量总体还有失偏颇.尽管如此，对总体而言，特征数既有随机性的一面，操作时又是以一个确定的样本为依据的.3．方差与标准差（1）极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.极差较大，则数据点比较分散；极差较小，则数据点比较集中.因此有时也可以用极差的大小比较来判断两个（或多个）样本数据的稳定性，从而判定相应总体的稳定程度.（2）方差与标准差当两组数据的集中程度差异不大时，我们可以用方差或标准差来刻画数据的稳定程度.一般地，设一组样本数据，其平均数为，则称为这个样本的方差，其算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差.样本方差和样本标准差都是通过每一个数据与平均数的离差程度的平方和来刻画的，因此其值越小，波动越小，样本数据越稳定.4．关于公式的补充说明（1）平均数的三个公式计算平均数的三个公式：；，是接近这组数据的平均数的一个常数；叫做加权平均数，是数据出现的频数，.（2）方差的三个公式计算方差的三个公式：公式①；公式②，公式②以使计算过程较为简单，当x不是整数时尤为简单；公式③，其中用心爱心专心是个已知的原数据，是接近这组数据的平均数的一个常数.由于比原数据都小，因此用公式③计算方差比较简便.三、图解重点总体特征的两个方面的估计潜能开发思路分析按平均数和方差计算公式处理[解答]：，答：样本的平均数和方差分别是3、2.8.思路分析依据相应的公式进行推理[解答]：由条件可得:,①解题规律在方差的计算中，由于波动是在平均数上下波动，所以首先要计算平均数，另外，方差的定义要理解着记忆，不能搞错公式的结构.当然在计算过程中要小心谨慎，避免不必要的错误发生.你也可以用平均数的另外两个公式处理一下，也可以算是熟悉一下公式，再去比较一下结果.解题规律本题的解题过程实际上是解方程，紧扣与这十个样本数据的关系是解题的关键所在.用心爱心专心[例1]已知一个样本数据是1，2，3，3，6求这个样本的平均数和方差。[例2]已知一组数据的方差是,且=,求样本数据样本平均数极差、方差、标准差估计总体的水平估计总体的稳定性②将②-①得,即,解得.思路分析由于数据的复杂性，故可考虑用计算比较...
