初等几何变换（一）基础知识：平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一．1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题．几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果．我们称集合M到自身的一一对应为一个变换．初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换．一、平移变换1．定义设PQ�是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得'XX�=PQ�，则T叫做沿有向线段PQ�的平移变换．记为X()TPQ�X，图形F()TPQ�F．2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．二、轴对称变换1．定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得X与X关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换．记为X)l(SX，图形F)l(SF．2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．例题：【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB．求证：∠PBA=∠PDA．【例2】如图左：线段AA′，BB′，CC′交于点O，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°．求证：S△AOB'+S△BOC'+S△COA'<3【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形用心爱心专心1B'BOA'CAC'B'BOPA'CAQRC'图１OACBDFEC'A'OACBDOACBDFEC'A'G图２【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N．求证：MP=NP．（蝴蝶定理）【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形．求证：PQ+QR+RP>2AD．用心爱心专心2OBAPDFCENMHGF'OBAPDFCENM图３图４ABCDPQRP'P''ABCDPQR
