2．6指数函数【要点导学】1、指数函数的定义形如的函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.指数函数的解析式的结构特征是：的系数是1，且指数是.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如，这是因为它的解析式可以等价化为.2、指数函数的图象和性质>10<<1图象性质⑴定义域：R⑵值域：(0,+∞)⑶过点(0,1)，即=0时，⑷在R上是增函数⑷在R上是减函数指数函数的图象和性质是在及这两种情况下分别给出的，的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，掌握指数函数的图象特征，有利于进一步理解和应用指数函数的性质.【范例精析】例1求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）.思路剖析根据函数式的特征,结合指数函数的性质求解.解题示范(1)要使函数有意义，必须即. ,∴.又 ,∴且.用心爱心专心o1o11∴函数的定义域为,值域为.(2)要使函数有意义，必须,即.当时,；当时，. ,∴.又,∴∴当时,函数的定义域为,当时,函数的定义域为.值域为.回顾反思1、对于求指数函数与其它函数复合而成的函数的定义域时,充当指数的式子取全体实数都有意义,求值域时,要注意到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.2、在利用指数函数的单调性解题时，要特别注意的范围，的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，当的范围不确定时，要对分及两种情况分别求解，以区别它不同的增减情况.例2将下列各数从小到大排列起来：，，，，，，，思路剖析先确定所要比较的几个数是大于0，还是小于0，然后再分别对（0，1）和（1，+）内的数运用指数函数的单调性比较大小.解题示范<0，=1；，，>1；0<，，<1. ,∴>>=.同理可得<<.∴<<<<<<<.回顾反思比较幂的大小，可先与特殊值0，1进行比较，然后再利用指数函数的单调性进行比较.当指数相同，底数不同时，可用作商法比较大小，如本题中比较与的大小.用心爱心专心2例3求函数的单调区间，并证明之.思路剖析先利用复合函数的单调性求出单调区间,然后再用函数单调性的定义证明.解题示范令， 在R上为减函数，∴要求的单调区间，只要求的单调区间即可. 在上单调递减，在上单调递增,∴函数的递增区间为上单调，递减区间为.证明：令，.设，则==. ,∴.当时，,这时,∴，∴上为减函数.当时，,这时,∴，∴上为增函数. 在R上为减函数，用心爱心专心3∴函数在上单调递增，在上单调递减.回顾反思求由指数函数与其它函数复合而成的函数的单调区间常利用复合函数法求解.对于指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法，但考虑到指数函数单调性的特点，常转化为用定义证明的单调性.例4已知，求的值域.思路剖析根据条件对目标函数消元，将目标函数转化为熟悉的函数.解题示范 ,∴.∴,令，则， 当时，为增函数，∴，即.∴的值域为（.回顾反思消元法是数学中的常用方法，当所求目标中的变量较多时，常用消元法消去多余的变量，使问题变得明了、清晰.在求解本题时，还需要注意指数函数本身的特点.例5画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解？思路剖析先利用图象变换法作出函数的图象，再运用数形结合法求解.解题示范先作函数的图象，然后将的图象向下平移1个单位，再将所得图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴的上方，得的图象，如图所示.由图象可得，当<0时，直线与函数的图象无交点,∴原方程无解.当=0或≥1时，直线y=k与函数的图象有一个交点，∴原方程有一解.当0<<1时，直线用心爱心专心41o与函数的图象有两个交点,∴原方程有两解.回顾反思本题的解法体现了数形结合的思想，数形结合法是数学中的重要思想方法，遇到方程根的个数问题、字母的取值范围问题、函数的最值问题等常要用数形结合法求解.【能力训练】一、选择题1、下列函数一定是指数函数的是（）Ａ、B、C、D、2、若函数是指数函数，则有（）A、B、C、D、3、函数的单调递增区间是（）A、B、C、D、4、若，则下列不等式中成立的是（）A、B、C、D、5、若函数的图象在第一、三、四象限内，则（）A、B、且C、D、5二、填空题6、函数的图象必经过定点________．7、若，则的取值范围是____________.8、若关于的方程有负根，则实数的...
