2．8对数函数【要点导学】1、对数函数的定义形如的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.对数函数是指数函数的反函数.对数函数的解析式的结构特征是：（1）的系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）真数为.2、对数函数的图象和性质>10<<1图象性质⑴定义域：(0,+∞)⑵值域：R⑶过点(1,0)，即当=1时，⑷在(0,+∞)上是增函数⑷在(0,+∞)上是减函数研究对数函数的图象和性质时，要充分注意到：（1）它和指数函数是互为反函数这一特点，它们的定义域、值域正好互换，图象关于直线对称.（2）由于底数的取值范围制约着对数函数的单调性，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须分清底数是还是.【范例精析】例1求下列函数的定义域、值域：(1)；（2）.思路剖析依据对数的定义求定义域，利用复合函数的单调性求值域.解题示范（1） ，∴，Ox1Ox11x=1x=1.∴函数定义域为R，函数值域为.（2）要使函数有意义，必须①②由①，得；由②，当时，必须；当时，必须.综合①②，得.当时，.∴，∴，∴∴当时，函数定义域为（-1，0），函数值域为.回顾反思1、因函数的定义域是非空的数集，故本题（2）中的必须满足.2、求由对数函数复合而成的函数的值域时，首先要抓住对数函数的单调性，在此基础上转化为求函数的值域，但不能忽视考虑对数函数的定义域，首先应满足.例2已知，，试比较的大小.思路剖析利用作差法比较大小.解题示范1令，得或，解得；2令，得；3令<0，得或，2解得1<.综上所述：时；时；.回顾反思从本题的解法可发现，两式大小的比较，实质上最终转化为解不等式的问题，要熟悉这种相互间的转化.例3.思路剖析因函数的图象为一条直线，故可利用数形结合法求解.解题示范表示一条直线，∴要使只要，解得.∴是.回顾反思在求解代数综合问题时，要善于发现代数式的几何意义，从几何角度寻找解题的突破口，利用数形结合法求解，既直观又简捷.例4问是否存在实数，使得在区间[2，4]上是增函数？若存在，求的取值范围.思路剖析利用复合函数的单调性求解.解题示范假设存在实数满足条件.令，则.由对数的定义可知，， ∴.令. ，∴上为增函数，∴要使在区间[2，4]上是增函数，则必须满足，解得.∴存在实数，使得在区间[2，4]上是增函数，的取值范围是3.回顾反思1、对于“是否存在……”这类问题的解题格式是首先假设存在，然后在此假设下再通过逻辑推理看满足条件的是否有解，若有解，则存在；若无解，则不存在.2、本题通过换元，将陌生的函数转化为熟悉的二次函数，从而使问题较顺利地解决.对于不熟悉的问题，常常需要抓住代数式的结构特征，采用换元法转化为求解熟悉的问题.3、在求解本题时，为什么要建立不等式？目的是要保证在[2，4]上有意义，即需在[2，4]上要大于0，也即需在上要大于0.例5已知函数（）的最小值为，最大值是0，其定义域恰是不等式的解集，求的值.思路剖析将函数的解析式变形，转化为求常见函数的最值问题.解题示范由，得，∴. ∴当时，，恰好为函数的最小值，∴满足的，∴，∴（1） 函数的最大值为0，∴，解得（2）由（1）、（2）得且解得.回顾反思求解本题时，要注意两点：一是抓住及的特点，可回避对的讨论；二是如何应用“最大值是0”这一条件求的值.常规的方法是通过求关于的二次函数的最大值，得到关于的方程，既要分类讨论，又运算量大，此法在此题不可取．这里的解法是将“最大值是0”这一条件转化为解关于4的二次不等式，然后再由（1）、（2）得到关于的方程.在解题时，要善于抓住题目的特点，灵活运用方法，优化解题过程，寻求最佳解法，不要墨守成规，生搬硬套方法.【能力训练】一、选择题1、函数的反函数是（）A、B、C、D、2、（）A、0B、1C、2D、33、下列函数中在区间上为增函数的是（）A、B、C、D、4、若，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、5、则下列关系式中正确的是（）A、B、C、D、5二、填空题6、函数的值域为.7、若函数的定义域是实数集R，则实数的取值范围是__________.8、将的图象，再作关于直线的对称图象，可得函数的图象.9、.10、若函数的值域是R，则实数的取值范围是__________.三、解答题11、比较下列各数的大小：5（1）...
