高中数学《函数的基本性质—最大（小）值》教案3 新人教A版必修1VIP专享VIP免费

1．3函数的基本性质-----最大（小）值（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数.体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念.培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法.通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念.从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程问题1．函数f(x)=x2.在(–∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数.当x≤0时，f(x)≥f(0)，x≥0时，f(x)≥f(0).从而xR.都有f(x)≥f(0).因此x=0时，f(0)是函数值中的最小值.问题2．函数f(x)=–x2同理可知xR.都有f(x)≤f(0).即x=0时，f(0)是函数值中的最大值.：1、函数最大值概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f(x)≤M.（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.函数最小值概念：一般地：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f(x)≥M.（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.２、例题分析例1．设f(x)是定义在区间[–6，11]上的函数.如果f(x)在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(–2)是函数f(x)的一个.（最小值）.例2．已知函数y=(x[2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y=(x[2，6])的图象可知，函数y=在区间[2，6]上递减.所以，函数y=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)–f(x2)===.由2≤x1＜x2≤6，得x2–x1＞0，(x1–1)(x2–1)＞0，于是f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).1所以，函数y=是区间[2，6]上是减函数.因此，函数y=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得的最大值，最大值是2，在x=6时的最小值，最小值是0.4.例3．已知函数f(x)=，x∈[1，+∞).（Ⅰ）当a=时，求函数f(x)的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f(x)变形为f(x)=x+2+=x++2，然后利用单调性求解.对于（2），运用等价转化(x[1，+∞)恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a=时，f(x)=x++2因为f(x)在区间[1，+∞）上为增函数，所以f(x)在区间[1，+∞）上的最小值为f(1)=.（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f(x)=恒成立x2+2x+a＞0恒成立.设y=x2+2x+a， (x+1)2+a–1在[1，+∞)上递增.∴当x=1时，ymin=3+a，于是当且仅且ymin=3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，∴a＞–3.解法二：f(x)=x++2x[1，+∞).当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a＜0时，函数f(x)递增.故当x=1时，f(x)min=3+a.于是当且仅当f(x)min=3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立.故a＞–3.思考题：已知函数f(x)=x2–2x–3，若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.解： 对称轴x=1，（1）当1≥t+2即t≤–1时，f(x)max=f(t)=t2–2t–3，f(x)min=f(t+2)=t2+2t–3.（2）当≤1＜t+2，即–1＜t≤0时，f(x)max=f(t)=t2–2t–3，f(x)min=f(1)=–4.（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，f(x)max=f(t+2)=t2+2t–3，f(x)min=f(1)=–4.（4）当1＜t，即t＞1时，f(x)max=f(t+2)=t2+2t–3，f(x)min=f(t)=t2–2t–3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g(t)=2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=.2（1）求证f(x)是R上的减函数；（2）求f(x)在[–3，3]上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x=y=0，f(0)=0，令x=–y可得：f(–x)=–f(x)，在R上任取x1＞x2，则f(x1)–f(x2)=f(x1)+f(–x2)=f(x1–x2). x1＞x2...