高中数学3.3.1 利用导数判断函数的单调性(2)VIP免费

3.3.1利用导数判断函数的单调性(2)要点精讲从函数图象出发，通过数形结合的方法直观了解可导函数的单调性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号判别函数增减性的方法．典型题解析【例1】已知，求函数的单调递增区间.【分析】先求函数再求函数的导数,求函数单调递增区间等阶于求导数.【解】设则，令解得：，或由于是R上的连续函数，所以函数的单调递增区间为和【例2】已知定义在实数集R上的函数是实数．（1）若函数在区间上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且求函数的表达式；（2）若，求证：函数是单调函数.【分析】函数在区间上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数转化为－1和3必是的两个根．列方程求出函数的表达式.【解】（1）由又由于在区间上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是的两个根．从而又根据（2）因为为二次三项式，并且，所以，当恒成立，此时函数是单调递增函数；当恒成立，此时函数是单调递减函数．因此，对任意给定的实数a，函数总是单调函数．【例3】已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数．求实数a的值组成的集合A．【分析】本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．【解】∵f＇(x)=4+2又f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．①设(x)=x2－ax－2，用心爱心专心116号编辑方法一：(1)=1－a－2≤0，①－1≤a≤1，(－1)=1+a－2≤0．∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}．方法二：2a≥0，2a＜0，①或(－1)=1+a－2≤0(1)=1－a－2≤00≤a≤1或－1≤a＜0－1≤a≤1．∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}．【例4】设，求函数的单调区间．【分析】所设的函数含有参数a，讨论函数单调区间时，应顾及a值的影响．这样也就考查了分类讨论的数学方法，强化了试题对能力的考查功能．利用在D内单调递增．在D内单调递减解决此类问题．【解】．当时．（i）当时，对所有，有．即，此时在内单调递增．（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即．解得．因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增．令，解得．因此，函数在区间内单调递减．规律总结求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x);(3)解不等式f'(x)＞0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)＜0，得f(x)的递减区间．用心爱心专心116号编辑