§3.3.1利用导数判断函数的单调性(1)要点精讲求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数;(3)解不等式＞0，得的递增区间；解不等式＜0，得的递减区间．典型题解析【例1】若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是()A．B．C．D．【解】记，则当时，要使得是增数，则需有恒成立，所以．矛盾．排除C、D当时，要使得是增数，则需有恒成立，所以．排除A本题答案选B【例2】已知在R上是减函数，求的取值范围．【分析】利用，x∈R是减函数等价于导数恒成立来解决此类问题．【解】函数f(x)的导数：（Ⅰ）当（）时，是减函数．所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数．综上，所求的取值范围是（【例3】已知函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围．【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力．【解】解法1：依定义,开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立用心爱心专心116号编辑．解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，【例4】设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围．【分析】把函数在（－1，3）上单调递减转化为y′在（－1，3）上恒小于0.【解】（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即．因为所以．又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）解法一．当时，函数单调递减．由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减．所以的取值范围为解法二：因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为规律总结函数的导数与单调性的关系：若f'(x)＞0，则f(x)为增函数；若f'(x)恒等于零，则f(x)为常数；若f(x)＜0，则f(x)为减函数．用心爱心专心116号编辑
