第15讲平面与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.¤知识要点：1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：.2.其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则ME∥AC，∴ME∥平面α，又NE∥BD，∴NE∥β，又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵MN平面MEN，∴MN∥α.【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．证明：∵A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，∴A，B，C，D四点共面．又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．【例3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG∥平面ABC.证明：作于P，连接PF.在正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面中，易知，又，所以.∴，平面ABC.又∵，，∴，∴，则平面ABC.∵，∴平面PEF//平面ABC.∵平面PEF，∴EF//平面ABC.同理，GF//平面ABC.∵，∴平面EFG//平面ABC.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等.此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且.求证：EF∥平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF，又∠B1AB=∠C1BC=45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN.∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴，，，∴，∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD.b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.用心爱心专心GNMFEECDBAD1C1B1A1ENMDBCA
