高中数学 第十章 复数 10.2.2 第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集（教师用书）教案 新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学教案VIP免费

第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标]1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一复数的除法[填一填](1)复数的除法如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．(2)复数的倒数给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积．(3)运算法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＝(a＋bi)()＝(a＋bi)·＝＝＋i.[答一答]怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算．(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．知识点二实系数一元二次方程[填一填]当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝，(1)|z|＝|z|；(2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；(3)||＝(z2≠0)；(4)|zn|＝|z|n；(5)|z|＝1⇔z·z＝1；(6)|z|2＝|z|2＝|z2|＝|z2|＝z·z.类型一复数的除法运算[例1]计算下列各式：(1)；(2).[分析]题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解](1)＝＝＝＝＝＝1－i.(2)＝＝＝＝＝＝－1＋i.复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减.如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.[变式训练1]计算：(1)＋(1－i)2；(2)＋(5＋i3)－()6.解：(1)＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－2i＝－2i＝－i.(2)＋(5＋i3)－()6＝＋(5＋i2·i)－[()2]3＝i＋5－i－i3＝5＋i.类型二实系数一元二次方程的解集[例2]求下列一元二次方程的解：(1)3x2＋5x＋1＝0；(2)2x2－3x＋3＝0；(3)4x2－5x＋2＝0.[分析]求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解.[解](1)Δ＝52－4×3×1＝13，故x＝＝.(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x＝＝.(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7，故x＝＝.[变式训练2]已知关于x的方程x2－2ax＋a2－4a＋4＝0(a∈R)的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a的值．解：由已知有Δ＝(－2a)2－4(a2－4a＋4)＝16a－16.①当Δ≥0即a≥1时，由可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a⇒a＝；②当Δ<0即a<1时，此时方程两根为共轭虚根，设α＝m＋ni，则β＝m－ni.∴∴|α|＋|β|＝2＝2|a－2|＝3⇒a＝；综上，a＝或.类型三复数运算的综合应用[例3]设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝，求证：u为纯虚数；(3)求ω－u2的最小值．[分析](1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝)(2)u为纯虚数可得到哪些结论？(u的实部为0且虚部不为0，或u＝－)[解](1) z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋(y－)i. ω是实数，且y≠0，∴y－＝0，∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x. －1<ω<2，∴－1<2x<2，从而有－0.于是ω－u2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1.当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时等号成立．∴ω－u2的最小值为1，此时z＝±i.该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.[变式训练3]设z2＝8＋6i，求z3－16z－.解：z3－16z－＝＝＝＝－＝＝－. |z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，又...