8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.【知识导学】知识点平面向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数λ，则交换律a·b＝□b·a结合律(λa)·b＝□λ(a·b)＝□a·(λb)分配律(a＋b)·c＝□a·c＋b·c【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如图所示，OA＝a，OB＝b，OC＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c，则b＝c，其中a≠0.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝________.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝________，|a－b|＝________，|a2＋b2|＝________.答案(1)8(2)－7(3)282100题型一求向量的夹角例1已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．1[解]设a，b的夹角为θ， 单位向量的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e－2e－2e1·e2＝e－2e－e1·e2＝1－2－＝－，|a|＝＝＝＝＝.|b|＝＝＝＝＝.∴cosθ＝＝＝－. θ∈[0，π]，∴θ＝120°.金版点睛求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程→→→(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解 |a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又 θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型二求向量的模例2已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量λb的模．[解](1) a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)由(1)知|b|＝3，∴|λb|＝|λ||b|＝3|λ|.金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．我们把该恒等式称为“极化恒等式”．2(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方．(1)已知|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则〈a，b〉＝()A．120°B．150°C．60°D．30°(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a－b|，|a＋b|.答案(1)B(2)见解析解析(1)cos〈a，b〉＝＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝150°，故选B.(2)解法一：|a＋b|＝＝＝＝＝5.|a－b|＝＝＝＝＝5.解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示． |a|＝|b|且∠DAB＝，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB|＝5，|a＋b|＝|AC|＝2|AE|＝2＝2＝5....
