8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个□非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA＝a，OB＝b，则称□[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作□〈a，b〉．(2)规定□0≤〈a，b〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝□〈b，a〉．(3)垂直：当〈a，b〉＝□时，称向量a和向量b互相垂直，记作□a⊥b.在讨论垂直问题时，规定□零向量与任意向量垂直．(4)①当〈a，b〉＝□0时，a与b同向；②当〈a，b〉＝□π时，a与b反向；③当〈a，b〉＝□或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称□|a||b|cos〈a，b〉为向量a和b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝□|a||b|cos〈a，b〉．由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝□|a|cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇒□a·b＝0，且□a·b＝0⇒a⊥b.(3)a·a＝□|a|2，即□|a|＝.(4)cos〈a，b〉＝□(|a||b|≠0)．(5)|a·b|□≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量A′B′为向量a在直线l上的□投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的□投影．如图2中，向量a在向量b上的投影为□A′B′.可以看出，一个向量1在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量□共线，但它们的方向既有可能□相同，也有可能□相反．知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a，b〉<时，A′B′的方向与b的方向□相同，而且|A′B′|＝□|a|cos〈a，b〉；当〈a，b〉＝时，A′B′为零向量，即|A′B′|＝□0；当〈a，b〉>时，A′B′的方向与b的方向□相反，而且|A′B′|＝□－|a|cos〈a，b〉．一般地，如果a，b都是非零向量，则称□|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是□非负数，也可能是□负数．两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．【新知拓展】1．a在b方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a·b的符号与a与b的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.(2)a·b＝0⇔θ＝或a与b中至少有一个为0.(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．(2)利用公式变式cosθ＝求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a|·|b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与轴l的夹角为30°且|a|＝，则a在轴l上的投影的数量为________．(2)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为135°，则a·b＝________.2(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA在x轴、y轴上的投影的数量分别为________和________．答案(1)(2)－8(3)|AB|－|AB|题型一两个向量的夹角例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的...
