听课随笔第5课时【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，(k∈N*)成_____________，公差为________.2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在______.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值【精典范例】【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。分析条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.【解法一】【解法二】【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n项和Sn的最大值.(3)当Sn＞0时，求n的最大值.【解】点评：可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？思路1：求出的函数解析式（n的二次函数,），再求函数取得最小值时的n值.思路2：公差不为0的等差数前n项和最小的条件为：思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.思维点拔：说明：根据项的值判断前项和的最值有以下结论：1听课随笔①当时，，则最小；②当时，，则最大；③当时，，则最小；④当时，，则最大【追踪训练一】1.已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（）A.25B.35C.36D.452.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（）A．B．C．D．3.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝__________.4.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于______.5.在等差数列{an}中，an=n－,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？【选修延伸】【例5】已知数列的前项和，求数列的前项和.【解】【追踪训练二】1.在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（）A.3B.4C.6D.122.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（）A.9B.10C.11D.123.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn=(n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（）A.n(n+5)B.n(n+4)C.n(2n+7)D.n(n+2)4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于______.5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.2【师生互动】学生质疑教师释疑
