空间向量的数量积坐标运算【教学目标】熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；【知识梳理】1.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}xyz，使得axiyjzk，则称有序实数组{,,}xyz为向量a的坐标，记着p�.3．空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz�．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2．数量积：即ba=332211bababa3．夹角：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．4．模长公式：若123(,,)aaaa，则222123||aaaaaa．5．平行与垂直：112233//,,()ababababR00332211bababababa6．距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz�，1或222,212121()()()ABdxxyyzz．【典型例题】例1如图，空间四边形OABC中，,OAaOBb�，OCc�，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，则MN�.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，190,1,2,6ABCCBCAAA,点M是1CC的中点，求证：1AMBA.变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线1CC上求一点N，使得1MNAB例3已知三角形的顶点是(1,1,1)A，(2,1,1)B，(1,1,2)C，试求这个三角形的面积．例4已知(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,2)C，求满足//DBAC，//DCAB的点D的坐标．当堂检测：1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA�a，CB�b，1CC�c，则1AB�（）A.abcB.abcC.abcD.abc2.已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角,ab为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对3.已知1,1,0,1,0,2,ab且kab与2ab互相垂直，则k的值是（）A..1B.15C.35D.754.若A(m＋1，n－1,3)，B.(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=5已知正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc�，则abc的模等于____________；26已知点(3,1,4)A，则点A关于x轴的对称点的坐标为____________．7设(2,6,3)a，则与a平行的单位向量的坐标为．8已知(1,1,),(2,,)atttbtt，则||ab的最小值是．9已知四边形ABCD为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)ABC，则点D的坐标为．10设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)abct，若cmanb，则t，mn．11已知(cos,1,sin),(sin,1,cos)ab，则向量ab与ab的夹角是．12已知a、b、c是两两垂直的单位向量，求：(1)abc；(2)23abbc；(3)4332abcabc．11．已知322,0,4,2,1,2,2,4,abcacb为,bc夹角，求cos．12．已知1,0,2,2,1,0ab(1)求a与b夹角余弦值的大小；(2)若21c，且c分别与,ab垂直，求c．13.平行六面体1111ABCDABCD中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC的长．14．已知1,2,3,2,1,5,3,2,5ABC，求：(1)△ABC的面积；(2)△ABC的AB边上的高．3
