高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案VIP免费

2.3.4平面与平面垂直的性质教学目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.教学重、难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.教学准备多媒体课件教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：ABABα⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图2提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.1请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：BCDABCDABCDABAB⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：2图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：aα.图6证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c， α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, 经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂3线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例例1如图7，已知α⊥β，a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b, α⊥β,∴b⊥β. a⊥β,∴a∥b. aα,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC. γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2....