由递推公式求通项公式一、教学目标：1.掌握由递推公式求通项公式的各种方法。二、教学重点：掌握观察分析法、累加法、累乘法、待定系数法等求数列的通项公式。三、教学难点：待定系数法求数列的通项公式。四、教学过程：1、累加法一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解；（1）若为常数,即：,此时数列为等差数列，则.（2）若为的函数时，用累加法.方法如下：由得：当n>1时，有…………………所以各式相加得例1、已知数列中,,求数列的通项公式。答案：例2、（资料例3（1）题）在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求通项an。例3、已知数列中,,求数列的通项公式。小结：已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。练习：根据下列条件，求数列通项公式.（1）（答案：）（2）（答案：）2、累乘法对于型如：类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。（1）当为常数，即：（其中是不为0的数），此时，数列为等比数列，。1（2）当为的函数时，用累乘法。由得时，例4、例5、（资料训练3）设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.分析:本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到和的更为明显的关系式，从而求出练习：根据下列条件，求数列通项公式.（1）（答案：）（2）（答案：）3、辅助数列法（构造法或待定系数法）这种方法类似于换元法,主要用于形如的已知递推关系式求通项公式。（1）若时，数列为等差数列;（2）若时，数列为等比数列;（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法设,得,与题设,比较系数得:，所以有：因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列.所以，即.方法2：，两式相减得所以2所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.累加可得方法三：迭代法例1、已知数列中，,求数列的通项公式.答案：练习：（资料【例3】）在数列{an}中，(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________.例2、设二次方程，有两根，满足，若，求数列的通项公式．4、形如的数列，令与比较出系数构造出等比数列.例3、已知数列中，,求数列的通项公式.5、形如例4、已知数列中，,求数列的通项公式.答案：.6、形如，其中为常数，用取倒数方法转化成为的形式，再利用前面的方法来解决.3例5、已知数列中，,求数列的通项公式.练习：已知数列中，,求数列的通项公式.例6、已知数列中，,求数列的通项公式.答案：五：课堂练习，定时训练：（已含在例题后方。）六：课堂点拨，归纳提升：七、板书设计：课题典例分析课堂练习考点梳理例题111例题222例题333小结提升：八：课后作业，巩固提升：1、已知数列中，,求数列的通项公式.2、已知数列中，,求数列的通项公式.3、已知数列中，,求数列的通项公式.4、已知数列中，,求数列的通项公式.5、已知数列中，,求数列的通项公式.4
