高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法讲义 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

2.2.1综合法和分析法1．直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，利用□已知条件和某些数学□定义、□定理、□公理等，经过一系列的□推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：…3．分析法定义：一般地，从要证明的□结论出发，逐步寻求使它成立的□充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□已知条件、□定理、□定义、□公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：…综合法与分析法的比较1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)证明不等式－<－(a≥2)成立所用的最适合的方法是________．(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明用的方法是________．(3)角A，B为△ABC内角，A>B是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)．答案(1)分析法(2)综合法(3)充要探究1综合法的应用例1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.[证明]证法一： a，b是正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.证法二： a，b是正数，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0，∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.证法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．[结论探究]本例已知条件不变，求证：≥.[证明] a＋b＝1，a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴00时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab， a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．拓展提升(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．【跟踪训练2】在锐角三角形ABC中，用分析法证明：tanA·tanB＞1.证明要证明tanA·tanB＞1，只需证明＞1.因为A，B为锐角，所以cosA＞0，cosB＞0.只需证明cosA·cosB＜sinA·sinB，只需证明cosA·cosB－sinA·sinB＜0，即cos(A＋B)＜0.因为C为锐角，且A＋B＝π－C，所以A＋B为钝角，所以cos(A＋B)＜0成立，所以tanA·tanB＞1.探究3综合法与分析法的综合应用例3已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.[证明]证法一：(分析法)要证＋≥＋，只要证a＋b≥(＋)，即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，即证a＋b－≥.也就是要证a＋b≥2.显然a＋b≥2成立，故＋≥＋.证法二：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x＋≥2(x>0)使左边向整式型过渡)方法一： ＋＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.方法二： (＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.拓展提升实际解题时，用分析法思考问题，寻...