高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积物理背景及其含义教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义教学内容分析本节课的主要内容是通过物理中的“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，是学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有数又有形，所以是代数、几何与三角的最佳结合点，它不仅应用广泛，而且很好地体现了数形结合的数学思想。学生情况分析平面向量的数量积继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。学生在学习本节内容之前，已经学习了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算是我一般方法：即先有特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律，这为学生学习数量积作了很好地铺垫，是学生倍感亲切。但也正是线性运算干扰了学生对数量积概念的理解，一方面相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算之后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面由于受数乘运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。教学目标知识与技能1、了解平面向量的数量积的物理背景2、理解平面向量数量积的含义及其几何意义；3、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；过程与方法通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力，并能运用性质和运算律进行有关的运算和判断。情感、态度与价值观强化学生的类比思想，通过数量积的性质、运算律的灵活应用，让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的认识规律。教学方法：启发探究式,讲练结合法课时安排：1课时教学重点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的发现与论证教学难点：平面向量数量积的概念及运算律的理解及其应用教学过程：一、创设问题情境、引入新课问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：如图（教材P103图2.4-1）所示，一物体在力F的作用下产生位移S。(1)力F所作的功W=________．1θSF(2)请同学们分析这个公式的特点:W(功）是________量，F（力）是________量，S（位移）是________量，θ是________。如果我把公式W=cosSF中的F和S分别换成a和b，即w=abcos，那么这个结果表示什么？这就是我们这节课所要讲的内容。二、讲授新课已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量abcos叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即a.b=abcos（０≤θ≤π）并规定0向量与任何向量的数量积为0.0.0a探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：夹角的范围9009018090的正负ba（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、abab=02、当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或aaa|||ab|≤|a||b|cos=||||baba例1、已知6a，8b，且a与b的夹角120，求ab.变式1：若6a，8b，且//ab，则ab是多少？2变式2：若6a，8b，且ab，则ab是多少？A©¦b©¦cos¦ÁB1BO│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影，│a│cosθ叫做向量a在向量b上的投影.a.b的几何意义：向量a与b的数量积a·b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│cosθ的积.探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．数乘结合律：(a...