高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示（第2课时）平面向量的正交分解及坐标表示教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第2课时平面向量的正交分解及坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同．(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出的坐标吗？提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．2．归纳总结，核心必记(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(3)向量i，j，0的坐标表示i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(4)平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)1向量数乘原来向量的相应坐标重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)(5)平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线[问题思考](1)在平面直角坐标系中，若a＝b，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？提示：若a＝b，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？提示：区别：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．②意义不同，点A(x，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同．(4)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为＝吗？提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y2≠0时才能这样表示．(5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：将b写成λa的形式，根据λ的符号判断，如a＝(－1,2)，b＝＝－(－1,2)＝－a，故a，b反向．[课前反思](1)平面向量的正交分解：；(2)平面向量的坐标表示：；(3)平面向量的坐标运算：；(4)平面向量共线的坐标表示：.2知识点1向量的坐标表示讲一讲1．(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(，)D．(－，－)(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号)①向量a可以表示为a＝mi＋nj；②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．[尝试解答](1)由题意，a＝(cos45°)i＋(sin45°)j＝i＋j＝(1,1)．(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．答案：(1)A(...