第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cosθ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cosθ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ定义数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)记法a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0(2)向量的数量积的几何意义①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔a·b＝0.②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.③a·a＝|a|2或|a|＝＝.④cosθ＝.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cosθ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|.(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立， 若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．[课前反思](1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.知识点1向量数量积的运算[思考1]要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cosθ.[思考2]你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．讲一讲1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2) |a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.类题·通法向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．练一练1．(1)已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|<|a·b|；④a·a·a＝|a|3；⑤若向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角．其中所有正确命题的序号是________．(2)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|.解析：(1)对于①， a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，故①正确；对于②， a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c夹角为θ，则b与c夹...
