2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示模式与方法自学指导讲练结合教学目的1.复习及应用平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.难点平面向量基本定理的运用.教学内容师生活动及时间分配复习引入新课引入1、平面向量基本定理内容小本写出大致内容？2、平面中的任意两个向量之间存在夹角问题？在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?1.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图1活动:如图1,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+yj①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)教师引导学生复习（小本考）限时看书5~回答师的问题1例题讲解②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11BA是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:例1如图4,ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=31BC,以a,b为基底分解向量HFAM和.图4解:由H、M、F所在位置,有ADDMADAMabABADDC212121AB21=b+21a.ADADABADBCAHBFABAHAFHF21312131=a61b.点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF.师导学生讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).②是一一对应的.教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.2课堂检测例题变式训练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.(2)作OACB.故OCOC就是求作的向量.例2如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG.2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.学生独立完成8~3课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3A组1.4
