2．3.1平面向量基本定理\s\up7()教学目标知识目标(1)了解平面向量基本定理．(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．能力目标(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．情感目标(1)增强学生的数学应用意识．(2)激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：平面向量基本定理．教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．\s\up7()(1)复习回顾师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？生：a＝λb.师：当a，b确定时，λ的值有几个？结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.(2)引导探究师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？(学生讨论)结论：不成立．师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？学生回答．师：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，怎样用e1、e2表示a?1图1图2(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)OC＝OM＋ON＝λ1OA＋λ2OB，即OC＝λ1e1＋λ2e2.其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e1，e2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．(3)意义建构平面向量基本定理：(学生描述)如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？生：不共线、有且只有．师：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底是否惟一？图3OC＝ON＋OM＝OE＋OF.结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．(4)定理再认识2①若a＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a＝λ1e1＋λ2e2.②若a与e1(或e2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a＝λ1e1＋λ2e2.③一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，称它为向量a的分解．特别地，当e1，e2互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a的正交分解．图4例1如图5，D是△ABC中BC边的中点，AB＝a，AC＝b，试用a，b表示(1)DC，(2)AD.解：(1)DC＝(b－a)．(2)AD＝AE＝(AB＋AC)＝(a＋b)．图5设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．例2设e1，e2是平面内的一组基底，OA＝e1＋e2，OB＝3e1－e2，OC＝me1－5e2且A、B、C三点共线，(1)求实数m的值；(2)试用向量OA，OB来表示OC.解：(1)∵A、B、C三点共线，∴AB＝λBC.又AB＝OB－OA＝(3e1－e2)－(e1＋e2)＝2e1－2e2，BC＝OC－OB＝(me1－5e2)－(3e1－e2)＝(m－3)e1－4e2，∴2e1－2e2＝λ[(m－3)e1－4e2]，3故有(2)由上知，OC＝7e1－5e2，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数s，t，使得OC＝sOA＋tOB.∴7e1－5e2＝s(e1＋e2)＋t(3e1－e2)．∴OC＝－2OA＋3OB.解题反思：①三点共线的等价条件是什么？②向量相等，对应向量的系数相等．设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点A，B，C，满足OC＝sOA＋tOB，则s＋t＝1)的进一步理解．(5)小结：a．平面向量基本定理的内容．b．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．c．基本定理的作用是什么？d．定理中蕴涵着哪些数学思想？4
