2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算示范教案\s\up7()教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．通过复习基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念．3．本节内容的教学应引导学生自己推导运算法则，并要求学生熟练地掌握向量的坐标运算．让学生通过平面向量基本定理重新认识平面直角坐标系．用三角函数的定义，初步建立向量与长度、角度之间的联系，认真向学生分析向量的坐标与点坐标之间的关系．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法，理解正交分解的概念，理解并掌握平面向量的坐标运算，掌握线段的中点公式的坐标表示．2．通过平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，通过本节的学习，更深层次的理解数形结合的数学思想方法．3．在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：向量坐标运算的灵活应用．课时安排1课时\s\up7()导入新课思路1.(类比引入)在物理学中，有这样的例子，如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．类比物理学上的这种分解，本节我们将学习两个向量的基底互相垂直的特例，由此展开新课．思路2.(直接引入)上一节我们学到，平面向量基本定理，即如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2(可让学生复述)，即把一个向量分解．这里不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形．显然如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来极大方便，这种分解就是我们本节要探究的一种重要分解，叫做正交分解，由此引入新课．推进新课向量的直角坐标1什么是正交基底？什么是正交分解？2用向量的观点重新认识直角坐标系，你有什么新的发现？3在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？活动：如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单．现在，让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的直角坐标系．在直角坐标系xOy内(如图1)，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．e1和e2分别是与x轴和y轴同方向的单位向量．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．图1在坐标平面xOy内(如图1)，任作一向量a(用有向线段AB表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标．即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．分别过向量AB的始点、终点作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为A1，B1和A2，B2.坐标分量a1为向量A1B1在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量A2B2在y轴上的坐标．显然0＝(0,0)，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．设向量a＝(a1，a2)，a的方向相对于x轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知a1＝|a|cosθ，a2＝|a|sinθ.图2在直角坐标系中(如图2)，一点A的位置被点A的位置向量OA所唯一确定．设...
