高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件示范教案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教案VIP免费

2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件示范教案\s\up7()教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，会通过图形和平面向量基本定理推导两向量平行的坐标表示．3．通过平行向量的坐标表示的探究，进一步加深学生对向量共线的认识，培养学生的运算能力，提高学生的数学素养．重点难点教学重点：会推导两向量平行的坐标表示．教学难点：掌握判断两个向量平行(或共线)的条件．课时安排1课时\s\up7()导入新课思路1.(直接引入)观察a＝(1,2)，b＝(2,4)，这两个向量的坐标成比例，试问这两个向量平行吗？向量c与向量a平行，它们的坐标之间有些什么关系？由此展开新课．思路2.(复习引入)上节课我们知道，如果向量起点与坐标原点重合，那么点A的位置可通过其坐标来反映．向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行是否也能通过坐标来研究呢？由此引入新课．推进新课活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给予必要的点拨，可先通过实例引入，如图1，a＝(1,2)，b＝(2,4)这两个向量坐标成比例，这两个向量平行，向量c与向量a平行，让学生观察它们的坐标有什么关系．然后推广到一般进行探究．图1我们知道，当b≠0时，如果a∥b，则存在唯一实数λ使a＝λb；反之，如果存在一个实数λ，使a＝λb，则a∥b.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ后，得x1y2－x2y1＝0.这就是说，当且仅当x1y2－x2y1＝0时向量a、b(b≠0)共线，这就是两个向量平行的条件．我们还知道x1y2－x2y1＝0与x1y2＝x2y1是等价的，但这与＝是不等价的．因为当x1＝x2＝0时，x1y2－x2y1＝0成立，但与均无意义．因此＝是向量a、b共线的充分不必要条件．由此也看出x1y2－x2y1＝0的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：(1)x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线．(2)充分不必要条件．活动：教师引导推证：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠a，由a＝λb，(x1，y1)＝λ(x2，y2)消去λ，得x1y2－x2y1＝0.讨论结果：a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0.教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除， y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成＝( x1、x2有可能为0)．3°向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b≠0)例1已知AB＝(2,5)和向量a＝(1，y)，并且向量AB∥a.求y.解：因为AB∥a，所以1×5－2×y＝0，解此方程得y＝.点评：提醒学生注意共线向量条件的坐标表示式的形式，防止记忆错误.变式训练已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A．(2，)B．(2，－)C．(3,2)D．(1,3)答案：A例2已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作...