高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教案VIP免费

2.2.1平面向量基本定理示范教案\s\up7()教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时\s\up7()导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1)(2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O，作OA＝e1，OB＝e2，OC＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM＝λ1e1，ON＝λ2e2.由于OC＝OM＋ON，所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e1，e2是两个不平行的向量，容易看出AB＝2e1＋3e2，CD＝－e1＋4e2，EF＝4e1－4e2，GH＝－2e1＋5e2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.教师强调：①我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE1＝e1，OE2＝e2，OA＝a.图3由于e1与e2不平行，可以进行如下作图：过点A作OE2的平行(或重合)直线，交直线OE1于点M，过点A作OE1的平行(或重合)直线，交直线OE2于点N，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a1，a2，分别有OM＝a1e1，ON＝a2e2，所以a＝OA＝OM＋ON＝a1e1＋a2e2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x，y使OA＝xe1＋ye2，则a1e1＋a2e2＝xe1＋ye2，即(x－a1)e1＋(y－a2)e2＝0.由于e1与e2不平行，如果x－a1，y－a2中有一个不等于0，不妨设y－a2≠0，则e2＝－e1，由平面向量基本定理，得e1...