高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．4.2抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质※2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆]□抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，□过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝x0＋|PF|＝□－x0|PF|＝□y0＋|PF|＝□－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝□p－x1－x2|AB|＝□y1＋y2＋p|AB|＝□p－y1－y2※3.通径[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求]通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．()(3)抛物线是轴对称图形．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________．(2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.(3)抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为__________________________________．(4)(教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．答案(1)x2＝16y(2)4(3)y轴(4)16解析(4)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.探究1抛物线的简单几何性质例1(1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解](1)抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． 抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.拓展提升与抛物线几何性质相关问题的求解策略(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解．【跟踪训练1】如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.解(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由AB＝2得E(，0)，∴A(，1)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2·p·，∴2p＝.∴抛物线方程为y2＝x.(2)由(1)知2p＝，∴＝，∴抛物线的准线方程为x＝－，焦点坐标为，离心率e＝1.探究2抛物线的焦点弦问题例2已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ.求证：(1)|AB|＝2；(2)|AB|＝；(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；(4)＋为定值；(5)S△AOB＝.[证明](1) x1＋x2＝2x0，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2.(2)(ⅰ)当θ≠90°时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，∴x1＋x2＝p.又k＝tanθ＝，代入|AB|＝x1＋x2＋p，得|AB|＝·p＋p＝.(ⅱ)当θ＝90°时，直线AB的方程为x＝，此时|AB|＝2p，也满足|AB|＝，综上，|AB|＝.(3)由(2)得x1x2＝(定值)．∴yy＝4p2x1x2＝p4. y1y2<0，∴y1y2＝－p2(定值)．(4)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，∴＋＝＋＝＝＝＝＝(定值)．(5)如图， 抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∴其焦点F的坐标为.∴S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋|OF|·|BF|·sinθ＝··sinθ·|AB|.由(2)知，|AB|＝，∴S△AOB＝.拓展提升抛物线焦点弦问...