高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．1.1曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是□这个方程的解；(2)以□这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做□曲线的方程，这条曲线叫做□方程的曲线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，则方程f(x，y)＝0即为曲线C的方程．()(2)若曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，则坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．()(3)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy＋4x－3y＝0与坐标轴的交点的坐标________．(2)直线C1：x＋y＝0与直线C2：x－y＋2＝0的交点坐标为________．(3)(教材改编P37T2)点A在方程x2＋(y＋1)2＝5表示的曲线上，则m＝________.(4)x2＋y2＝1(x>0)表示的曲线是________．答案(1)(0,0)(2)(－1,1)(3)－3或(4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y轴右侧的部分探究1曲线与方程的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．【跟踪训练1】设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0答案D解析命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.探究2点与曲线的位置关系例2已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围．[解](1) 12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上．(2)因为曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，所以a2＝－a2＋2a＋k.所以k＝2a2－2a＝22－，所以k≥－，所以k的取值范围是.拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数．【跟踪训练2】已知0≤α<2π，若点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α.解 点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，∴(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3，∴cosα＝.又 0≤α<2π，∴α＝或.探究3由方程研究曲线的类型和性质例3方程(x＋y－2)＝0表示的曲线是()A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆[解析]由题意方程(x＋y...