高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义 导数的概念教案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

§2导数的概念及其几何意义导数的概念一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：设函数)(xfy，当自变量x从x0变到x1时，函数值从)(0xf变到)(1xf，函数值y关于x的平均变化率为xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(xfy在点x0的瞬时变化率。（二）、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(xfy在点x0的导数，通常用符号)(0xf表示，记作xxfxxfxxxfxfxfxxx)()()()()(00001010limlim01。例1、一条水管中流过的水量y（单位：3m）是时间x（单位：s）的函数xxfy3)(。求函数)(xfy在x=2处的导数)2(f，并解释它的实际意义。解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为3323)2(3)2()2(xxxxxfxf（3m/s）.1当x趋于2，即Δx趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(f（3m/s）.导数)2(f表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为33m。例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数)(xfy。假设函数)(xfy在x=1和x=3处的导数分别为4)1(f和5.3)3(f，试解释它们的实际意义。解：4)1(f表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。5.3)3(f表示该工人上班后工作3h的时候，，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数)(tfy，假设函数)(tfy在t=10和t=100处的导数分别为5.1)10(f和6.0)100(f，试解释它们的实际意义。解：5.1)10(f表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min）。6.0)100(f表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min）。(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的2方法步骤：（四）、练习：课本33P练习：1、2.（五）、作业：课本37P习题2-2中A组2、3补充题：1、求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．五、教后反思：3