柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy）不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数=恒成立即当且仅当即时等号成立证明（2）数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时，右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立（2）假设时，不等式成立即当，k为常数，或时等号成立设用心爱心专心则当，k为常数，或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点及直线设点p是直线上的任意一点，则（1）（2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即用心爱心专心2）证明不等式例2已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故3）解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。4）求最值例4已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有用心爱心专心即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得①又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数用心爱心专心，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。用心爱心专心
