高中数学 第三讲《柯西不等式与排序不等式》教案（1） 新人教版选修4-5VIP免费

第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2ababab及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd222()()()acbdadbcacbd.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)mab�，(,)ncd，则22||mab�，22||ncd. mnacbd�，且||||cos,mnmnmn�，则||||||mnmn�.∴…..证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.∴22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd.④提出定理2：设,�是两个向量，则||||||�.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（�是零向量，或者,�共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若112233,,,,,xyxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P374、5题.第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.用心爱心专心教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()abcdacbd；22222211221212()()xyxyxxyy2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数12yxx的最大值?要点：利用变式2222||acbdabcd.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例1：求函数31102yxx的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：31102yxx→推广：,(,,,,,)yabxcdefxabcdefR②练习：已知321xy，求22xy的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若,xyR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bR，求证：11()()4abab.3.练习：①已知,,,xyabR，且1abxy，则xy的最小值.要点：()()abxyxyxy….→其它证法②若,,xyzR，且1xyz，求222xyz的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,xyzR，且1xyz，求xyz的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题第三课...