1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、课时安排1课时三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．五、教学过程（一）导入新课复习基本不等式
（二）讲授新课教材整理二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥当且仅当时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当，或，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当时，等号成立（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2
求证：p＋q≤2
【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】设m＝p，q，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n|＝·＝
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤，∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2
规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立
【解】设m＝(p，q)，n＝(1,1)，则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·
又p2＋q2＝2
∴p＋q≤·＝2
故仍有结论p＋q≤2成立
题型二、运用柯西不等式求最值例2若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自
