第三章空间向量与立体几何知识系统整合规律方法收藏一、空间向量及其运算1．空间向量的概念(1)在空间，具有方向和大小的量叫做向量．零向量是方向任意、大小为零的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等．(2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础．2．空间向量的运算(1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律．(2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义．3．空间向量中的一些重要结论(1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0.(2)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)．(3)空间向量基本定理：给定空间一个基底{a，b，c}，对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc.(4)空间向量的数量积及夹角公式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝.二、空间向量的坐标表示1．空间坐标系这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与a，b，c同向．2．向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；AB＝OB－OA＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇒a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b⇒a＝λb⇔＝＝(b1，b2，b3≠0)．3．有关公式(1)模：|a|＝＝；(2)夹角：cos〈a，b〉＝＝；(3)两点间距离：|AB|＝.三、运用向量方法研究平行与垂直1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)在平面内找到一个与直线方向向量共线的向量；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线方向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5．面面平行(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题．6．面面垂直(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)转化为线面垂直、线线垂直问题．四、用向量方法求空间角和距离1．求两异面直线所成角利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是，故实质上应有：cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|.3．求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．4．点到平面的距离的求法点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝.学科思想培优一、空间向量及其运算本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算．1．向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定...
