空间向量及其运算课题空间向量及其运算备注三维目标掌握空间向量的基本意义，能利用向量进行有关计算和证明培养学生数形结合的思想重点利用向量进行几何证明和计算难点证明问题的一般思路的培训辨析(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．(×)考点自测1．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C11的中心，若AE→＝AA1→＋xAB→＋yAD→，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝12C．x＝12，y＝12D．x＝12，y＝13．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是()A.22和22B.22C.22D.22或224．如图，在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．知识梳理1．空间向量的有关概念2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理(2)共面向量定理(3)空间向量基本定理3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．4．空间向量的坐标表示及应用例题选讲例1三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，试用AB→，AD→，AA1→表示EO→.例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共2面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为________．题型三空间向量数量积的应用例3三棱锥A－BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A－NP－M的余弦值．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．高考链接已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________3每日一练两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．后记4
