第三章导数应用章末小结一、导数与函数的单调性1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0.3．利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．二、导数与函数的极值和最值1．极值当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．3．最值对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值．4．利用导数求函数最值的一般步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数最值与极值的区别与联系(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为()A．－135°B．45°C．－45°D．135°解析：选D y′＝x－2，∴处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.2．下列求导运算正确的是()A．(cosx)′＝sinxB．(ln2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2ex)′＝2xex解析：选B(cosx)′＝－sinx，(3x)′＝3xln3，(x2ex)′＝2xex＋x2ex.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减少的B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减少的D．在x＝2处取极大值解析：选C在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．4．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是()A.B.C.，D.，解析：选A f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.5．函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值时的x值为()A．0B.C.D.解析：选B由f′(x)＝1－2·sinx＝0，得sinx＝，又x∈，所以x＝，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，故x＝时取得最大值．6．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是()A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤0解析：选Cf′(x)＝3ax2＋1，由题意得f′(x)＝0有实数根，即a＝－(x≠0)，所以a<0.7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D.解析：选Bf′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，且f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0,1)，∴0
