高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3.4生活中的优化问题举例5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖出的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072极小值极大值0所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．8．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在A的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断A上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB＝90°，|AC|＝xkm，|BC|＝km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y＝＋(0＜x＜20)．又垃圾处理厂建在A的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有＋＝0.065，解得k＝9，故y＝f(x)＝＋(0＜x＜20)．(2)f′(x)＝－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．所以当x∈(0,4)时，f′(x)＜0，y为减函数；当x∈(4，20)时，f′(x)＞0，y为增函数．故在x＝4处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为4m时，对城A和城B的总影响最小．(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于()A．sinxB．cosxC．cosα＋sinxD．2sinα＋cosx解析：选A函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为()A．y＝－3x＋3B．y＝－3x＋1C．y＝－3D．x＝2解析：选C因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y＝－3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解...