高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3．3.3函数的最大(小)值与导数预习课本P96～98，思考并完成以下问题1．什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2．函数的最值与极值有什么关系？3．求函数最值的方法和步骤是什么？1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．[点睛]对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[点睛]函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案：(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案：C3．函数f(x)＝3x＋sinx在x∈[0，π]上的最小值为________．答案：14．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．答案：(－4，－2)求函数的最值[典例]求下列函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．[解](1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57－由于当x＞时，f′(x)＞0，所以f(x)在上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x02πf′(x)＋0－0＋f(x)0极大值＋极小值－π∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.求函数最值的四个步骤第一步：求函数的定义域．第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．第四步：求极值、端点值，确定最值．[注意]不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．[活学活用]已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝＋lnx＝－1＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2极小值0－＋ln2∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，∴f－f(2)＝－2ln2＝×(3－4ln2)＝ln＞0，∴f＞f(2)，∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.由函数的最值求参数[典例]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29.求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．当a＞0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上...