高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3．3.1函数的单调性与导数预习课本P89～93，思考并完成以下问题1．函数的单调性与导数的正负有什么关系？2．利用导数判断函数单调性的步骤是什么？3．怎样求函数的单调区间？1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递f′(x)＜0单调递2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“陡峭”(向上或向下)越小比较“平缓”(向上或向下)[点睛]对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案：(1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案：D3．设f(x)＝x＋(x＜0)，则f(x)的单调递减区间为()A．(－∞，－2)B．(－2,0)C．(－∞，－)D．(－，0)答案：D4．函数f(x)＝sinx－2x在(－∞，＋∞)上是________(填“增”或“减”)函数．答案：减判断或讨论函数的单调性[典例]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．[解]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数．若x∈，则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数证明或判断函数单调性的思路[活学活用]1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选By′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．2．证明：函数y＝xsinx＋cosx在上是增函数．证明：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx. x∈，∴cosx＞0，∴y′＞0.即函数y＝xsinx＋cosx在上是增函数．求函数的单调区间[典例]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝.令f′(x)＞0，即＞0， x＞0，∴6x2－1＞0，∴x＞.令f′(x)＜0，即＜0， x＞0，∴6x2－1＜0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＜0时，f′(x)＝－ax2＋2x，f′(x)＞0⇔(－ax＋2)x＞0⇔x＞0⇔x＞0或x＜；f′(x)＜0⇔＜x＜0.故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．[注意]如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．[活学活用]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x3＋3x2；(2)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．令f′(x)＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；令f′(x)＜0，解得x＜0或x＞2，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex＞0，(x－2)2＞0.令f′(x)＞0，解得x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；令f′(x)＜0，解得x＜3，又x∈(－∞，2)∪...