3.2.3指数函数与对数函数的关系\s\up7()教学分析教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．三维目标了解反函数的概念，知道y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．重点难点教学重点：y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．教学难点：理解反函数的概念．课时安排1课时\s\up7()导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝ax和函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．推进新课①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系.讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.x…－3－2－10123…y…1248…y＝log2x.y…－3－2－10123…x…1248…图象如下图所示．1②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x、y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y是同一个函数图象．⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．⑥通过②与⑤类比，归纳知道，y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0，且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．思路1例写出下列函数的反函数：(1)y＝30x；(2)y＝log0.7x.解：(1)f－1(x)＝log30x；(2)f－1(x)＝0.7x.点评：函数y＝ax与函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.变式训练本节练习A1.思路2例求下列函数的反函数：(1)y＝－2x；(2)y＝2x＋1.解：(1)x＝－y，则f－1(x)＝－x.(2)2x＝y－1，则x＝log2(y－1)，∴f－1(x)＝log2(x－1)(x＞1)．2点评：求反函数的步骤：①将y＝f(x)看成关于x的方程，解方程得x；②x、y互换得f－1(x).变式训练求证：函数y＝的图象关于直线y＝x对称．证明： x＝，∴f－1(x)＝.则y＝的反函数是其本身．∴y＝的图象关于直线y＝x对称.1．函数y＝lgx的反函数是()A．y＝lgxB．y＝10xC．y＝lnxD．y＝10x答案：B2．函数y＝的图象关于()A．直线y＝x对称B．直线y＝2x对称C．x轴对称D．y轴对称答案：A3．写出下列函数的反函数：(1)y＝21logx；(2)y＝2x＋1；(3)y＝6x.解：(1)f－1(x)＝()x；(2)f－1(x)＝x－；(3)f－1(x)＝log6x.若1...
