高中数学 第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3课时）二倍角的正弦、余弦、正切公式教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos2α＝cos2α－sin2α，sin2α＝2sinαcosα，tan2α＝.2．归纳总结，核心必记[问题思考](1)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？提示：S2α，C2α中α∈R，T2α中α≠kπ＋且α≠±.(2)能应用tanα表示sin2α，cos2α吗？提示：sin2α＝2sinαcosα＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝.[课前反思](1)二倍角的正弦公式：；(2)二倍角的余弦公式：；(3)二倍角的正切公式：.知识点1化简求值讲一讲1．求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；(4)－；(5)cos20°cos40°cos80°.[尝试解答](1)原式＝＝＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝4.(5)原式＝＝＝＝＝.类题·通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．练一练1．化简：(1)－；(2).解：(1)原式＝＝＝tan2θ.(2)原式＝＝＝＝＝＝1.条件求值知识点2讲一讲2．(1)已知cos＝，≤α<，求cos2α＋的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.[尝试解答](1) ≤α<，∴≤α＋<. cos>0，∴<α＋<.∴sin＝－＝－＝－.∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.(2) sin2α＝－cos＝－，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－. α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.类题·通法解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．练一练2．(1)已知cosα＝，则cos2α等于()A.B.C．－D.(2)设α是第四象限角，已知sinα＝－，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为()A．－，，－B.，，C．－，－，D.，－，－(3)已知tanα＋＝，α∈，求cos2α和sin的值．解析：(1)cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.(2)因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，tan2α＝＝－.(3)由tanα＋＝，得＋＝，则＝，即sin2α＝.因为α∈，所以2α∈，所以cos2α＝－＝－，sin＝sin2α·cos＋cos2α·sin＝×－×＝.答案：(1)C(2)A知识点3倍角公式的综合应用讲一讲3．已知向量a＝(sinA，cosA)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．[尝试解答](1)由题意得a·b＝sinA－cosA＝1，2sin＝1，sin＝.由A为锐角得A－＝，所以A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值.当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是.类题·通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cosα＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.练一练3．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈，即4α＋＝.故α＝.[课堂归纳...