高中数学 第七章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.4 正切函数的性质与图像教案 新人教B版第三册-新人教B版高中第三册数学教案VIP免费

7.3.4正切函数的性质与图像(教师独具内容)课程标准：1.利用正切线研究正切型函数的性质.2.类比正、余弦函数的五点法作图作正切函数的图像.3.利用整体代换的思想方法解决与正、余弦函数、正切函数性质相关的问题．教学重点：正切函数的性质与图像．教学难点：正切函数的性质与图像.【知识导学】知识点一y＝tanx的性质对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y＝tanx是一个函数，称为正切函数．(1)定义域是□.(2)值域是□R.(3)奇偶性：正切函数是□奇函数．(4)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是□π.(5)单调性：正切函数在每一个开区间□(k∈Z)内都是增函数．知识点二y＝tanx的图像y＝tanx的函数图像称为正切曲线．【新知拓展】1．类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图像采用的是“三点两线法”，即由(kπ，0)，，－＋kπ，－1(k∈Z)这三点及x＝＋kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图像．2．正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几点：(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在∪∪…上是增函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域上是增函数．()(2)正切函数无最大值和最小值．()(3)点是正切函数的一个对称中心．()(4)正切函数无对称轴．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．做一做1(1)f(x)＝tan的最小正周期为()A.B.C．πD．2π(2)f(x)＝tan(x＋π)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(3)函数y＝tanx的值域是()A．[－1,1]B．[－1,0)∪(0,1]C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)(4)函数y＝tan的单调增区间是________．答案(1)B(2)A(3)B(4)(k∈Z)题型一正切函数的图像问题例1作出函数y＝tanx＋2，x∈的简图．[解]解法一：本题考查正切函数图像的作法，可以先作出函数y＝tanx，x∈的图像，再将函数y＝tanx，x∈的图像中所有的点向上平移2个单位长度，所得图像即函数y＝tanx＋2，x∈的图像，如图所示．解法二：(三点两线法)①列表：x－0tanx－101tanx＋2123②画x＝－，x＝两条虚线，描点．③用光滑曲线连接，如图所示．金版点睛(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性．(2)正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线．画出函数y＝2tan在x∈[0,2π]上的简图．解令x－＝＋kπ，k∈Z，可得x＝＋2kπ，k∈Z，又x∈[0,2π]，所以x＝是该函数图像的一条渐近线方程．当x＝0时，y＝2tan＝－2；当x＝π时，y＝2tan＝2；2当x＝2π时，y＝2tan＝－2.令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，由于x∈[0,2π]，故当x＝时，y＝0.描点(0，－2)，(π，2)，，(2π，－2)，画虚线x＝，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示.题型二与正切函数有关的定义域问题例2求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．[解]函数y＝＋lg(1－tanx)有意义，等价于解得0≤tanx<1.由正切曲线可得kπ≤x<＋kπ，k∈Z.所以原函数的定义域为.金版点睛解正切不等式的步骤(1)作出正切函数y＝tanx在上的图像；(2)求出在内使tanx＝a成立的x的值；(3)利用图像确定不等式在内的解集；(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．求下列函数的定义域．(1)y＝tan；(2)y＝.解(1)由x＋≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋kπ，k∈Z，所以y＝tan的定义域为.(2)由－tanx≥0，得tanx≤，结合y＝tanx的图像可知在上，满足tanx≤的角x满足－