高中数学 第七章 三角函数 7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式教案 新人教B版第三册-新人教B版高中第三册数学教案VIP免费

7.2.3同角三角函数的基本关系式(教师独具内容)课程标准：1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用．教学难点：同角三角函数基本关系式在解题中的逆用、变形应用及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论.【知识导学】知识点一同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系关系式语言叙述平方关系□sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的□平方和等于1商数关系□tanα＝同一个角α的正弦、余弦的□商等于角α的正切知识点二同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin2α＝□1－cos2α，cos2α＝□1－sin2α.(2)商的变形sinα＝□tanαcosα，cosα＝.【新知拓展】(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．()(2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．()(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α＝1也成立．()(4)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－B.C．±D．±(2)化简：＝________.1(3)已知＝－5，则tanα＝________.答案(1)A(2)cos80°(3)－题型一三角函数求值例1(1)已知cosα＝－，求sinα和tanα；(2)已知tanα＝3，求的值．[解](1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.(2)解法一：原式＝＝＝.解法二： tanα＝3，∴sinα＝3cosα.代入原式可得：原式＝＝＝.解法三： tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα.又sin2α＋cos2α＝1.∴sinα＝，cosα＝，或sinα＝－，cosα＝－，∴原式＝.[结论探究]在本例(2)中条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值．解原式＝＝＝＝.金版点睛1．求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．(1)已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα；2(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值；(3)已知＝，α∈，求的值．解(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.(2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.(3) ＝，∴3tan2α－2tanα－1＝0.即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，∴tanα＝－或tanα＝1. α∈，∴tanα<0，∴tanα＝－，∴＝＝.题型二sinα±cosα与sinαcosα关系的应用例2已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．[解](1) sinA＋cosA＝，∴两边平方，得1＋2sinAcosA＝.∴sinAcosA＝－.(2)由(1)sinAcosA＝－<0，且0