四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为.柱坐标与直角坐标的互相转化[例1](1)设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]直接利用变换公式求解．[解](1)由变换公式即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝＝，又x＞0，y＞0.∴θ＝，∴点A的柱坐标为.(2)由变换公式得x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,2，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝＝＝1. x＝0，y＞0，∴θ＝，∴点M的柱坐标为.2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)；(2)；(3).解：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1) (ρ，θ，z)＝，∴∴(，1,1)为所求．(2) (ρ，θ，z)＝，∴∴(3，－3，－2)为所求．(3) (ρ，θ，z)＝(1，π，0)，∴∴(－1,0,0)为所求.球坐标与直角坐标的互相转化[例2](1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．[思路点拨]直接套用坐标变换公式求解．[解](1)由坐标变换公式得，x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2，y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2，z＝rcosφ＝4cos＝－2，故其直角坐标为(2,2，－2)．(2)由坐标变换公式得，r＝＝＝4.由rcosφ＝z＝－2，得cosφ＝＝－，φ＝.又tanθ＝＝1，则θ＝(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)；(2).解：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1) (r，φ，θ)＝，∴∴为所求．(2) (r，φ，θ)＝，∴∴为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．解：(1)由变换公式得，r＝＝＝2.由z＝rcosφ，得cosφ＝＝＝，∴φ＝，又tanθ＝＝＝，x＞0，y＞0，∴θ＝，∴它的球坐标为.(2)由变换公式得，r＝＝＝2.由z＝rcosφ，得cosφ＝＝－，∴φ＝.又tanθ＝＝＝－1，x＜0，y＞0，∴θ＝，∴它的球坐标为.一、选择题1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的()A．球B．球面C．圆D．直线解析：选Br＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是()A.B.C.D.解析：选Cρ＝＝2， tanθ＝＝，x<0，y<0，∴θ＝，又z＝3，∴点M的柱坐标为.3．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A．(－6,2，4)B．(6,2，4)C．(－6，－2，4)D．(－6,2，－4)解析：选A由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6,2，4)．4．若点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为()A.B.C....
