高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP专享VIP免费

二极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系直角坐标极坐标区别点与直角坐标是“一对一”的关系由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一．因此点与极坐标是“一对多”的关系联系直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式点的极坐标[例1]已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．[思路点拨]确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解](1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P，Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．与极坐标不表示同一个点的极坐标是()A.B.C.D.解析：选B根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)，(－ρ，2kπ＋π＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点，可知只有与表示的不是同一个点的极坐标．另外，也可画出点在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行检验．2．在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．解：作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.点的极坐标与直角坐标的互化[例2](1)把点A的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))．[思路点拨]依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．[解](1)设A(x，y)，则x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，故点A的直角坐标为(－，－1)．(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝－.又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.因此点P的极坐标是.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．分别把下列点的极坐标化为直角坐标．(1)；(2)；(3)；(4)(π，π)；(5)(6,2)．解：(1) x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，∴点的极坐标化为直角坐标为(，1)．(2) x＝ρcosθ＝3cos＝0，y＝ρsinθ＝3sin＝3，∴点的极坐标化为直角坐标为(0,3)．(3) x＝ρcosθ＝4cos＝－2，y＝ρsinθ＝4sin＝2，∴点的极坐标化为直角坐标为(－2,2)．(4) x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．(5) x＝ρcosθ＝6cos2，y＝ρsinθ＝6sin2，∴点的极坐标(6,2)化为直角坐标为(6cos2,6sin2)．4．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A的极坐标，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解：(1) x＝ρcosθ＝4cos＝2.y＝ρsinθ＝4sin＝－2.∴点A的直角坐标为(2，－2)．(2) ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－1，且点B位于第四象限内，∴θ＝，∴点B的极坐标为.又 x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝.∴点C的极坐标为.一...