高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP专享VIP免费

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．用坐标法解决几何问题[例1]在平行四边形ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思路点拨]首先在平行四边形ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A，B，C，D的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明]如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E的坐标为，由对称性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，求证：|AC|＝|BD|.证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设A(－a，h)，B(－b,0)，则D(a，h)，C(b,0)．∴|AC|＝，|BD|＝.∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形ABCD中，|AC|＝|BD|.2．在△ABC中，D是BC边上的任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由距离公式得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c，所以O为线段BC的中点．又因为OA⊥BC，所以|AB|＝|AC|.所以△ABC为等腰三角形．用平面直角坐标系解决实际问题[例2]已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长．[解](1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)．以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝×2×2＝2km2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆＋＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y＝(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示．由得13x2＋8x－32＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，那么弦长L＝|x1－x2|＝·＝，故暂不加固的部分长为km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程．(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B村位于A村的正西方向1km处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方...