高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式教案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

1.2.1绝对值三角不等式一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．二、课时安排1课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．四、教学难点会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．五、教学过程（一）导入新课|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.【解析】 |x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.【答案】3（二）讲授新课教材整理1绝对值的几何意义1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为的点A到的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的，即线段AB的教材整理2绝对值三角不等式1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤，当且仅当时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是．教材整理3三个实数的绝对值不等式定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、运用绝对值不等式求最值与范围例1对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．【精彩点拨】令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.【自主解答】法一对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二t＝|x＋1|＋|x＋2|＝∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.因此实数m的取值范围是(－∞，1]．规律总结：1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因为f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.题型二、含绝对值不等式的证明例2设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.【精彩点拨】不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对(23)2121231xxxxx，，，值不等式的性质证明．【自主解答】依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.又|x|>m，∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.因此≤＋＝＋<＋＝2，即<2.规律总结：1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).【证明】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|<1，∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．题型三、绝对值不等式的理解与应用例3已知a，b∈R，则有(1)≤1成立的充要条件是________；(2)≥1成立的充要条件是________．【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别求解．【自主解答】(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔≤1，因此≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔≥1.因此≥1成立的充要条件是a≠－b.【答案...