空间几何体的表面积与体积一、学习目标：了解空间几何体的表面积和体积的计算公式,能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积。二、重点、难点：重点：会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。难点：几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。三、考点分析：近几年的高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式，学会运用等价转化思想把组合体的求积问题转化为基本几何体的求积问题，会把立体问题转化为平面问题求解，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用。与本将内容有关的题目一般以选择题、填空题的形式出现，属基础或中档题。1.多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h（即πr2l）πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。知识点一：柱、锥、台体的表面积1例1：三棱锥中，为等边三角形，侧面积是底面积的2倍。，且该三棱锥的高，为的中心，且垂直于内任意直线，求其表面积。思路分析：构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形，利用方程思想求解解答过程：设该三棱锥底面边长为，侧面的高为，如图，过作，，。，。。，。即。，。，，。解题后的思考：构造直角三角形，利用勾股定理来建立方程，求得未知量的方程思想在计算中经常用到。知识点二：柱、锥、台体的体积例2：已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体积。思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。解答过程：如图所示，、是上、下底面的中心，连结、、，在平面内作于。是边长为2的等边三角形，是中心，，同理，则。在中，，，，即棱台高为cm。2所以三棱台的体积为（cm3）。解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。例3：在边长为的正方体中，，，分别是棱，，上的点，且满足，，，试求三棱锥的体积。思路分析：若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易的求出其高和底面的面积，从而代入公式求解。解答过程：。解题后的思考：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据。例4：如图，在三棱柱中，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比。3思路分析：截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得。解答过程：设棱柱的底面积为，高为，其体积。则三角形的面积为。由于，则剩余不规则几何体的体积为。所以两部分的体积之比为。解题后的思考：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算。知识点三：几何体的侧面展开图例5：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0。求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长。思路分析：求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图，将几何体展开，把空间问题平面化，然后利用“两点之间线段最短”的性质求解。解答过程：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示。甲、乙、丙三个图形...
