AA′MNNAA′B′M直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法借助相似三角形的判定定理及性质定理，采用小组探究的方式，推导出射影定理．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入在前面的学习中，大家已经知道了射影，请作出点A及线段AB在直线MN上的射影．如图，⊿ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．显然，AB、BD分别是AC、CD在斜边AD上的射影．二新知探究如图，⊿ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．提出问题：1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：⊿ACD与⊿CBD，⊿BDC与⊿BCA，⊿CDA与⊿BCA）CBABD2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：⊿ACD与⊿CBD中，CD2=AD·BD,⊿BDC与⊿BCA中，BC2=BD·AB,⊿CDA与⊿BCA中，AC2=AD·AB．这三个关系式形式完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时引导学生结合射影定义及图像，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例1如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D．AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长．解：∵∠ACB是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC是直角三角形．由射影定理可得：CD2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC2=AD·AB=2×10=20，解得AC=2；BC2=BD·AB=8×10=80，解得BC=4．例2如图，⊿ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD·BD．求证：⊿ABC是直角三角形．证明：在⊿CDA和⊿BDC中，∵点C在AB上的射影为D，∴CD⊥AB．∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD中，∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC是直角三角形．（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个命题的证明中，可能对如ADCADOBCBb何建立条件与结论之间的关系有些困难．教学中可从如下两方面来引导：①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD2=AD·BD变形为,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四课堂练习1在⊿ABC中，∠C=90°,CD是斜边AB上的高．已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长．（直接运用射影定理．）2如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同作图方法．)五课堂小结（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2思想方法：化归．六课后作业1基础训练：在⊿ABC中，∠C=90°,CD⊥AB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长．2小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a
