高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数讲义 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案VIP免费

1.3.1函数的单调性与导数1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是□单调递增的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是□单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的□定义域．(2)计算f′(x)，令□f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的□符号，确定函数f(x)的□增区间和□减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”．说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________．1(3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．答案(1)上升(2)a>0，且b2≤3ac(3)，(1，＋∞)探究\s\up7()函数与导函数图象之间的关系例1f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()[解析]由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．[答案]C拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．【跟踪训练1】设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()2答案D解析应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象．探究\s\up7()求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当00，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x<0或x>2时，f′(x)<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．(4)因为f′(x)＝－ax2＋2x.①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，令f′(x)>0，所以(－ax＋2)x>0，即x>0，得x>0或x<，由f′(x)<0，得0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．3(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗...