5．5数学归纳法学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤．(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养.一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．数学归纳法的定义一个与自然数有关的命题，如果(1)当n＝n0时，命题成立；(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．思考：数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？[提示]不一定．n0的取值视具体情况而定．拓展：数学归纳法两个步骤的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()[答案](1)×(2)×(3)√2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4C[三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n＝3.]3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB.C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋dC[假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.]4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____．[答案]＋＋…＋＋>－.5．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________．1＋2＋3＋4[当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.]用数学归纳法证明恒等式【例1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，那么，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边．∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立．用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.[跟进训练]1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_______．2(2k＋1)[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对一切n∈N*等式成立.用数学归纳法证明不等式【例2】证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．[...
