5．3等比数列5．3.1等比数列第1课时等比数列的定义学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)1.通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养.2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养.有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1mm)这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：1,2,4,8,16,32,64,128，…问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？1．等比数列的概念一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？[提示]一定不能为0.拓展：对等比数列的定义的理解(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．2．等比数列的通项公式及其推广若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*.思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？[提示]不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．3．等比数列的单调性等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，数列为递减数列；(3)当q＝1时，数列为常数列；(4)当q<0时，数列为摆动数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列．()(2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N*.()(3)常数列一定是等比数列．()(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为()A．an＝2·3n＋1B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1D．an＝3·2n－1C[由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]3．下列数列为等比数列的是()A．2,22,3×22，…B.，，，…C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…D．0,0,0，…B[结合等比数列的定义可知选项B正确．]4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.[法一： a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝，②∴②÷①得：q3＝，∴q＝.法二： a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝.]等比数列基本量的求解【例1】在等比数列{an}中．(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.[解](1)法一： ∴由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2.法二： a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4，∴q＝.∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2.(2)法一： 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，∴32×＝1，即26－n＝20，∴n＝6.法二： a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.[跟进训练]1．(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.[解](1)由an＝a1·qn－1，得＝，即，得n＝4.(2)因为由得q＝或q＝2.当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.∴an＝－16·或an＝2n－1.等比数列的判断与证明[探究问题]1．如何证明数列{an}是等比数列？[提示]只需证明＝q，(q≠0)即可．2．如何证明数列{an＋1}是等比数列？[提示]只需证明＝q，(q≠0)即可．【例2】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明...
