第3章空间向量与立体几何空间向量的基本概念及运算【例1】如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0.其中正确结论的序号是________．[解析]容易推出SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2·2·cos∠ASB，SC·SD＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案]③④1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cosθ等．11.如图，已知ABCDA′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，则α＋β＋γ＝________.[连接BD，则M为BD的中点，MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝(DA＋AB)＋(BC＋CC′)＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA′)＝AB＋AD＋AA′.∴α＝，β＝，γ＝.∴α＋β＋γ＝.]空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．(1)B[由b＝x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)．](2)[解]① 向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴，解得∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．② a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.熟记空间向量的坐标运算公式设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，1．加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．2．数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.3．向量夹角：cos〈a，b〉＝.4．向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|M1M2|＝.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2C[ AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．[思路探究](1)证明向量BM垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用MN⊥BD，MN⊥PB，列方程求其坐标即可．[解]以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(1)证明： BM＝(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴BM·n＝0，即BM⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)BD＝(－1,2,0)，PB＝(1,0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则MN＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴即∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．3．线...
